Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponen Matematika Peminatan SMA

 Beberapa bentuk persamaan eksponen beserta sifat-sifat yang digunakan dalam menentukan solusinya.

A.  Bentuk  a^f(x) = a^g(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok (basis) yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan nilainya konstan. Namun pangkatnya berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Satu-satunya kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkatnya sama, yaitu ketika f(x) = g(x).

 Sifat A  Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

 Contoh 1 
Tentukan penyelesaian dari 2^2x-7 = 8^1-x
Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x

Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

B.  Bentuk  a^f(x) = b^f(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b dan keduanya konstan. Namun, kedua pangkatnya sama, yaitu f(x). Untuk a, b ≠ 0, maka a⁰ = 1 dan b⁰ = 1. Akibatnya a⁰ = b⁰, untuk a, b ≠ 0. Jadi, agar persamaan a^f(x) = b^f(x) bernilai benar, haruslah f(x) = 0.

 Sifat B  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^f(x) maka  f(x) = 0

 Contoh 2 
Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1

Jawab :
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1

Berdasarkan sifat B, maka
x - 1 = 0
x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1

C.  Bentuk  a^f(x) = b^g(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga berbeda yaitu f(x) dan g(x). Solusi dari bentuk seperti ini dapat kita tentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

 Sifat C  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x) 

 Contoh 3 
Tentukan penyelesaian dari ($\frac{2}{3}$)^x = 6^1-x

Jawab :
Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka
log  ($\frac{2}{3}$)^x = log 6^1-x
x log ($\frac{2}{3}$) = (1 - x) log 6       log aⁿ = n log a
x log ($\frac{2}{3}$) = log 6 - x log 6   
x log ($\frac{2}{3}$) + x log 6 = log 6
x (log ($\frac{2}{3}$) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6                    log a + log b = log (ab)
x = $\frac{log6}{log4}$
x = ⁴log 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = ⁴log 6

D.  Bentuk  f(x)^g(x) = 1

Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena 1^g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = 1.
2. Karena (-1)^g(x) = 1 benar jika g(x) genap, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.
3. Karena f(x)⁰ = 1 benar jika f(x) ≠ 0, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

 Sifat D  Jika f(x)^g(x) = 1 maka   
(1)  f(x) = 1 
(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap
(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

 Contoh 4 
Tentukan HP dari (2x + 3)^x-1 = 1

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 3  dan  g(x) = x - 1

Solusi 1 : f(x) = 1
2x + 3 = 1
2x = -2
x = -1  ✔

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
2x + 3 = -1
2x = -4
x = -2  ✘
Periksa :
Untuk x = -2  →  g(x) = -2 - 1 = -3  (ganjil)
Karena g(x) ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x - 1 = 0
x = 1  ✔
Periksa :
Untuk x = 1  →  f(x) = 2(1) + 3 = 5 ≠ 0.
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-1, 1}

E.  Bentuk  f(x)^h(x) = g(x)^h(x) 

Persamaan eksponen diatas memuat bilangan pokok yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x), namun kedua pangkatnya sama, yaitu h(x). Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena pangkatnya sama, haruslah bilangan pokoknya juga sama, yaitu f(x) = g(x).
2. Dua buah bilangan yang berlainan tanda, jika dipangkatkan bilangan genap yang sama akan menghasilkan bilangan yang sama. Sebagai ilustrasi, (2)^h(x) = (-2)^h(x)  bernilai benar ketika h(x) genap. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x)  akan bernilai benar jika f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) genap.
3. Untuk f(x) dan g(x) ≠ 0, maka f(x)⁰ = 1 dan g(x)⁰ = 1. Akibatnya, f(x)⁰ = g(x)⁰  ketika f(x) dan g(x) ≠ 0. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x)  akan bernilai benar jika h(x) = 0 asalkan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0.

 Sifat E  Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka   
(1)  f(x) = g(x)
(2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

 Contoh 5 
Tentukan HP dari (2x + 1)^x-6 = (x + 5)^x-6

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 1,  g(x) = x + 5  dan  h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x + 1 = x + 5
x = 4  ✔

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
3x = -6
x = -2  ✔
Periksa :
Untuk x = -2  →  h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x - 6 = 0
x = 6  ✔
Periksa : Untuk x = 6 maka
f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0
g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6}

F.  Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) 

Persamaan eksponen diatas memiliki basis yang sama, yaitu f(x). Namun kedua pangkatnya berbeda, yaitu g(x) dan h(x). Ada 4 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena basisnya sama, haruslah pangkatnya juga sama, yaitu g(x) = h(x).
2. Untuk berapapun nilai g(x) dan h(x), maka 1^g(x) = 1 dan 1^h(x) = 1. Akibatnya, 1^g(x) = 1^h(x)  untuk berapapun nilai g(x) dan h(x). Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 1.
3. Karena (-1)^g(x) = (-1)^h(x) benar ketika g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil. 
4. Untuk g(x) dan h(x) positif, maka 0^g(x) = 0 dan 0^h(x) = 0. Akibatnya, 0^g(x) = 0^h(x) ketika g(x) dan h(x) positif. Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua positif.

 Sifat F  Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka   
(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

 Contoh 6 
Tentukan HP dari (x - 4)^4x = (x - 4)^1+3x

Jawab :
Misalkan : f(x) = x - 4,  g(x) = 4x  dan h(x) = 1 + 3x

Solusi 1 : g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1  ✔

Solusi 2 : f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5  ✔

Solusi 3 : f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3  ✔
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12  (genap)
h(x) = 1 + 3(3) = 10  (genap)
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4 : f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4  ✔
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16  (positif)
h(x) = 1 + 3(4) = 13  (positif)
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.

∴ HP = {1, 3, 4, 5}

Sumber : https://smatika.blogspot.com/2017/10/penyelesaian-persamaan-eksponen.html